Spherical Coordinate - Zenith, Azimuth

Spherical Coordinate

렌더링에서는 표면 위 한 점 x에서

표면 법선 n과

방향 ω 사이의 관계를 다루는 것이 중요하다.

 

특히 빛의 산란과 material의 물성, 광학적 성질을 표현하는 BXDF에서

 

입사 방향의

 

 ωi (incoming)

 

출사 방향의

 

ωo(outgoing)

 

사이의 관계를 다루는 것이 중요하다.

 

 

이때 방향 ω 에 대해서는 두개의 파라메터를 통해서 구면좌표계로써 방향을 표현한다.

 

ω=(θ, φ)

 

여기서,

 

방위각(Azimuth)을 나타내는 

 φ(phi)

 

법선으로부터의 각도를 나타내는 극각의(Zenith)

θ(theta)

 

가 있다.

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Confusing Notations

자료를 찾아보면 같은 spherical coordinates를 설명하더라도

θ와 φ의 의미가 다르게 쓰이는 경우가 있다.

어떤 자료에서는 θ를 azimuth angle로,

φ를 polar angle로 사용하기도 한다.

따라서 수식을 볼 때는 각 기호가 어떤 기준축과 기준평면에서 정의되었는지를 먼저 확인해야 한다.

 

일반적으로 Rendering에서의 표기법은 

 

azimuth angle를  φ(phi)로 두며

zenith angle를 θ(theta)로 두는 것이 관례이다.

 

해당 관례를 따르면

로 표현이 가능하고

따라서

가 된다.

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Spherical Coordinate vs Celestial Coordinate

구면좌표계를 다루는 또다른 분야로는 천체의 위치 등을 표기하고 관측할때 유용하게 사용되는데

천체를 다루는 좌표계로써 천구 좌표계라는 명칭으로 불린다. 

 

이때는 적경(right ascension)에 대한 성분이 방위각과 유사하게 

 

α(alpha)

 

적도면으로부터 얼마나 각도가 틀어져 있는지에 대한 적위(declination)인

 

δ(delta)

 

로써 표기된다.

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In Rendering Equation

서로 유사한 좌표계로써 보임에도 각도 기준과 표기법에 대해 혼동하지 말고 구분할 필요가 있다. 

BRDF 렌더링 방정식에서 주로 다루는 반구(hemisphere) 적분에 대해서

로써 나타내어지는데

 

이때 미소 입체각의

 

성분에 대해 구면좌표계의 θ, φ로 표현하면

로 풀어서 쓸 수 있고 따라서

로 표현될 수 있다.

 

이때,

은 반구 위 방향에 대해 적분되는 임의의 함수이다.

 

실제로 렌더링 방정식에서는 incoming radiance와 BRDF, 그리고 Cosine Term의 곱으로 표기되므로 

로 나타낼 수 있으며 따라서

에 대하여

이고

이므로

와 같은 전개가 가능하다.

 

즉, 뒤에 cos과 sin항은 빛에 대한 같은 성분에 의한 표기 결과가 아니다.

sin은 dw를 두 파라메터 성분으로 나누어 표기하는 과정에서 변환된 결과이다. 

 

해당 섹션에서 짚어야 할 중요한 부분은

렌더링 방정식에서 각도의 기준이 혼동되면 수식에 대한 이해를 혼란스러워 할 수 있게 되므로 주의하도록 한다.