Implicit Representation

그래픽스를 공부하면서 기초학문의 결핍으로

미적분학을 다시 공부하는 중에 

음함수 내용에 대해서 문뜩 드는 생각에 대해서 간단히 정리해 본다. 

 

학부 수업에서 Implicit한 방법과 Explicit 한 방법에 대해서 다룬 적이 있고 

해당 의미를 그냥 단어 의미 그대로 함축된 방법, 드러낸 방법의 의미 정도로 생각을 했었으나 

 

한국어 번역본에서 음함수, 양함수로 쓰인다는 점을 보고 머리가 띵 한 부분이 있었다. 

 

고등학교 과정에서 음함수의 미분법에 대해서 간단히 다루었던 내용이 생각나서

따로 해당 의미에 대해서 의심하지 않고 받아드렸었는데 

 

implicit 한 방법을 음함수적이라 표현하고

explicit 한 방법을 양함수적이라 표현하여

해당 의미에 대해서 다시 한 번 생각해 볼 필요가 있었다. 

 

흔히 '음' 과 '양'이라고 하는 것은 서로 상반되는 의미를 가지고 있는데 

convex와 concave

차가움과 따뜻함과 같은 느낌이다. 

 

반면, 여기서 음함수(陰函數) 의 陰은

+,-에서의 수학적 부호의 음수(-)의 의미라기 보다는

드러나지 않고 뒤에 숨어 있다, 간접적이다 라는 뜻에 가깝다.

해당 접두사가 붙여진 것의 의미는 성질의 반대라기보다 표현 방식의 차이에 가깝다.

 

솔직히, 단어 자체가 번역된 표현이 그다지 직관적이지 않다. 

아무튼 implicit 한 방법을 음함수라고 한다 

라는 관점에서 간단하게 이해해 본다.

 

본질적으로, 음함수와 양함수의 차이점은 

기본적으로 함수의 본질인 입력과 출력이라는 관점에서 서술하냐

아니면 함수의 의미가 직접적으로 드러나지 않고 식 안에 내재되어 있냐 이다.

 

y = f(x)

z = k(x,y)

a = g(b)

 

와 같이 입력과 출력의 관계가 명시되어 있는 식을 양함수 라고 한다면

 

f(x,y,z) = 0

g(a,b) = -1

 

과 같이 해당 식을 통해 해당 식을 통한 집합을 나타내는 식을 음함수 라고 한다. 

 

좀더 다듬어서 정리해 본다면,

 

양함수적 표현은

한 변수를 다른 변수들의 함수로 직접 푼 형태로써

어떤 변수가 종속변수인지 알기 쉽게 되어 있다.

 

반면, 음함수적 표현은

어느 변수가 입력이고 누가 출력인지가 정해져 있지 않다.
대신, 해당 식을 만족하는 점들의 집합이 바로 대상이 된다.

 

직관적으로 이해하기 쉬운 방법은 입력에 따른 출력을 정의한 양함수적 표현이고 

이미 우리는 수학을 배우면서 해당 방식에 익숙해져 있기 때문에 이러한 틀을 깨기가 쉽지 않다. 

실제로 수학을 배울 때에도 현상을 쉽게 이해할 수 있는 강력한 도구이기도 하기 때문이다. 

 

반면 음함수적 표현에 익숙해지게 되면 양함수만으로는 이해할 수 없는 직관을 갖추는 데에 큰 도움이 되는 것으로 보인다.

예를 들어

 

f(x,y,z)=0 에 대하여 

해당 식에 대한 의미를 해석 해 본다면 해당 식을 만족하는 x,y,z 집합을 의미하는 것인데,

먄악 임의의 x,y,z에 대하여 함수 f에 대입하였을때

 

f(x,y,z) > 0 

f(x,y,z) < 0

인지를 판단하여

 

해당 함수를 특정 조건에 대해서는 하나의 곡면, 혹은 manifold로 해석해 볼 수 있는 직관을 갖출 수 있다. 

 

혹은

구를 표현하기 위한 방법으로써

로 표현 하는 것을 양함수적으로 해석해 버리면

가 되어 해당 식이 무엇을 의미하는지 직관적으로 알기 어렵다.

 

즉 implicit 한 방법은 공간 전체를 하나의 장(field) 으로써,

기하학적 형상을 함수식으로 해석하고 정보를 판단하는데 매우 중요한 도구로서 작용한다. 

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Implicit 한 방법의 의의

그래픽스에서는 3차원 vertex 정보를 이산적으로 배치하여 이를 연속적인 형태로써 정보를 두기도 하지만

반대로 Implicit한 방법을 통해 연속적인 정보들을 함축된 함수적 형태로 압축하거나 근사하여 표현해 볼 수도 있다. 

이러한 방법을 Implicit expression 이라고 한다.

 

Implicit expression으로 표현하게 되면

원하는 구간 만큼 샘플링 하여 기하 형상을 표현할 수 있다. 

 

또한, 최신 그래픽스에서 연구가 되고 있는

NeRF( Neural Radiance Fields)나

SDF(Signed Distance Fields)등의  장(Field)를 다루는 방식에서는 매우 중요하게 다루어지는 부분이며

시뮬레이션이나 reconstruction 분야 등에서 중요하게 다루어 진다고 하니,

이번 자료 조사를 통해 Implicit한 방법에 대해서

개념을 다시 짚어볼 필요성을 다시 한 번 느끼게 되었다.